Equazioni della retta
Retta parallela ad un asse
Retta passante per l'origine
Retta non passante per l'origine e non parallela agli assi cartesiani
Equazione generica della retta
Rette parallele
Rette perpendicolari
Equazione della retta dato un punto e il coefficiente angolare
Equazione della retta passante per due punti
Punto di intersezione tra due rette
Distanza di un punto dalla retta
Equazione dell'asse di un segmento
Equazioni delle bisettrici degli angoli individuati da due rette incidenti

Prima definiamo cosa sia il luogo geometrico piano. Si tratta dell'insieme di punti appartenenti ad un piano P che gode di una proprietà geometrica. Mediante la corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei punti del piano P e l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali (x, y), ogni proprietà geometrica può tradursi in un proprietà algebrica, o meglio in una equazione alla quale devono soffisfare le coordinate di tutti e soli i punti della figura stessa.

In sintesi:

Si chiama luogo geometrico piano l'insieme di tutti e soli i punti del piano P le cui coordinate (x, y), sustituide ordinatamente nella equazione f(x,y)=0, soddisfano tale uguaglianza,che viene chiamata equazione di luogo.

EQUAZIONI DELLA RETTA

RETTA PARALLELA AD UN ASSE :

Se la retta è parallela all'asse delle ascisse, diciamo che la retta suddetta è il luogo dei punti del piano aventi ordinata uguale a k.

  y = k

L'equazione della retta parallela all'asse delle ordinatamente è:

  x = k

RETTA PASSANTE PER L'ORIGINE

La retta passante per l'origine, distinta dagli assi cartesiani, è il luogo dei punti del piano, diversi dall'origine (O), per il quale è costante il rapporto (m) tra l'ordinata (y) e l'ascissa (x).

Possiamo scriverla così che rende meglio l'idea (cosideranto l' origine come uno dei due punti presi in considerazione per fare il rappoto):

y = mx

dove m è chiamato coefficiente angolare.

RETTA NON PASSANTE PER L'ORIGINE E NON PARALLELA AGLI ASSI CARTESIANI:

La retta è il luogo dei punti del piano le cui ordinate superano di q quelle dei punti di ugual ascissa e giacenti su una retta passate per l'origine.

y = mx + q

EQUAZIONE GENERICA DELLA RETTA :

La seguente equazione lineare di due variabili rappresenta una retta generica:

ax + by + c = 0

dove a, b, vendono chiamati coefficienti rispettivamente di x e y; e c viene chiamato termine noto.

Distinguiamo diversi casi per verificare che quest'equazione rappresenta tutte le equazioni delle rette viste finora.

• a = 0 e b ≠ 0

by + c = 0 → y = - c/b

questa è l'equazione di una retta parallela all'asse delle ascisse.

• a ≠ 0 e b = 0

ax + c = 0 → x = - c/a

questa è l'equazione della retta parallela all'asse delle ordinate.

• a ≠ 0, b ≠ 0 e c = 0

ax + by = 0 → y = - (a/b) x

questa è l'equazione della retta passante per l'origine, non coincidente con nessuno dei due assi cartesiani. Il coefficiente angolare è m= - a/b.

• a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0.

y = - a/b x – c/b

questa è l'equazione delle retta non passante per l'origine e non parallela agli assi cartesiani.

Con coefficiente angolare m = -a/b e l'ordinata alle origine q = -c/b.

L'equazione y = mx + q non è in grando di rappresentare le rette parallele all'asse delle ordinate. Non esistono volori di m e q tali per cui si possa ottenere un'equazione del tipo x = k. Questo perchè l'equazione è ottenuta tenendo presente il concetto di coefficiente angolare, per rette parallele all' ordinata non a senso parlare di coefficiente angolare infatti non è possibile fare il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa.

RETTE PARALLELE

Condizione necessaria e sufficiente affinchè due rette siano parallele è che abbiano lo stesso coefficiente angolare.

RETTE PERPENDICOLARI

Condizione necessaria e sufficiente affinchè due rette siano perpendicolari è che abbiano coefficienti angolare antireciproci (uguale all'opposto del reciproco).

EQUAZIONE DELLA RETTA DATO UN PUNTO E IL COEFFICIENTE ANGOLARE

L'equazione della retta passante per un punto e avente coefficiente angolare noto è un'equazione del genere:

y = mx + q

Ciò che non conosciamo è la costante q. Avendo le coordinate del punto dato P (x1, y1) e il coefficiente m, possiamo ricavare q.

y1 = mx1 + q

q = y1 – mx1

sostituiamola alla prima equazione:

y = mx + y1 – mx1

scriviamola in forma ordinata:

y – y1 = m(x – x1)

EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

L'equazione della retta passante per due punti, non giacenti su una retta parallela all'asse delle ordinate, è del tipo:

y = mx + q

deve essere verificata sia per le coordinate del punto P1 (x1, y2) sia del punto P2 (x2, y2).

y1 = mx1 + q

y2 = mx2 + q

sottraendo membro a membro otteniamo:

y2 – y1 = m (x2 – x1)

ricaviamo

ad notare che pere valori di ascisse ordinate l'espressione perde di significato.

Abbiamo il coefficiente angolare, un punto, abbiamo quello che ci serve per trovare l'equazione della retta. Sostituiamo alla prima equazione e otteniamo:

PUNTO DI INTERSEZIONE TRA DUE RETTE

Per trovare il punto di intersezione di due rette dobbiamo risolvere un sistema di equazioni (le due equazioni generiche delle rette) di primo grado a due incognite.

ax + by + c = 0

a'x + b'y + c' = 0

1. Se a/a' ≠ b/b', il sistema è determinato ed ammette una sola soluzione. La disuguaglianza appena scritta equivale a scrivere a/b ≠ a'/b', cioè i coefficienti angolari delle rette sono diversi m ≠ m', quindi hanno un punto di intersezione.

2. Se a/a = b/b' ≠ c/c' il sistema non ammette soluzioni.Infatti ciò equivale a scrivere a/b = a'/b', se i coefficienti angolari sono uguali le rette sono parallele, quindi non hanno punti in comune.

3. a/a = b/b' = c/c' il sistema è indeterminato e ammette infinite soluzioni. Ciò significa che le rette sono coincidenti.

DISTANZA DI UN PUNTO DALLA RETTA

Per trovare la distanza un punto P dalla retta r si considerea un seconda retta perpendicolare alla prima, nel punto A, e passante per il punto P, e si calcola la sunghezza del segmento PA.

L'equazione della retta s passante per il punto P e perpendicolare alla retta r è:

Risolviamo il sistema a 2 equazioni e 2 incognite:

calcoliamo la distaza dei due punti, in questo è come calcolare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo.

Se avessimo usato l'equazione generale della retta:

EQUAZIONE DELL'ASSE DI UN SEGMENTO

L'equazione dell'asse di un segmento è la retta r passante per il suo punto medio perpendicolaread esso.

Per un segmento di estremi A(x1; y1) e B(x2; y2) il suo punto medio è Me il coefficiente angolare dell'asse è antireciproco della retta passante per i punti A e B.

C'è anche un secondo modo per trovare l'equazione.

Sappiamo che l'asse di un segmento è il luogo dei punti del piano equidistanti dai suoi estremi. Quindi affinchè un punto P(x ; y) sia sull'asse deve essere suddisatta questa condizione necesaria e sufficiente:

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e da qui l'equazione dell'asse:

.

EQUAZIONI DELLE BISETTRICI DEGLI ANGOLI INDIVIDUATI DA DUE RETTE INCIDENTI

Date due rette incidenti r e r' di equazioni rispettivamente ax+by+c=0 e a'x+b'y+c'=0, vogliamo calcolare le due bisettrici dei quattro angoli formati dalle due rette. Dato che possiamo definire le bisettrici come il luogo dei punti del piano equidistanti dalle rette, possiamo scrivere che la distanza tra il punto P(x; y), giacente sulla bisetrice deve essere equidistante dei punti A e B, giacenti sulle rette.

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. Questa uguaglianza equivale alle seguenti due equazioni che sono le equazioni delle bisittrici.

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