CONCETTI BASE
L’insieme in matematica è un concetto premitivo e come tale non definibile esplicitamente.

L’apperteneza o meno ad un insieme viene stabilita inequivocamente attraverso la conoscenza della proprietà caratteristica.

Gli elementi dell’insieme si indicano con lettere minuscole, mentre gli insiemi con lettere maiuscole.

Per indicare che l’elemento a appertine all’insieme A, si scrive:
a Î A
Per indicare che l’elemento a non appertine all’insieme A, si scrive:
a Ï A

Consideriamo i seguenti insiemi:
A: divisori di 10.
B: ragazzi alti;

Il primo è chiaramente un insieme in senso matematico.
Il secondo non definisce un insieme finchè non stabiliamo la proprietà caratteristica. Potremmo definire che “i ragazzi alti sono quelli che raggiungono i 185 cm”; avendo espresso un criterio oggettivo di scelta ora possiamo considerarlo un insieme in senso matematico.

RAPPRESENTAZIONE
Gli insiemi possono essere rappresentati in 3 modi:

• Con la rappresentazione tabulare si elencano tra parentesi graffe tutti gli
  elementi dell’insieme:

A = { 1, 2, 5, 10}

• Enunciando la proprietà caratteristica:

A = { x | x div 10 }
          dove il simbolo “|” si legge “tale che”.

• con la rappresentazione grafica di Eulero-Venn:


INSIEME VUOTO
Si chiama insieme vuoto un insieme privo di elementi.
L’insieme vuoto si indica con il simbolo Æ.

SOTTTOINSIEME
Un insieme A è sottoinsieme di B se per ogni elemento di a tale chea Î A è anchea Î B.
Possiamo allora scrivere che A Ì B.
Il simbolo Ì indica l’inclusione propria (in senso stretto), si esclude che B possa
essere il sottoinsieme di A.

Possiamo però aggiungere che un insieme è il sottoinsieme di se stesso. Quindi se scriviamo:
C Í D
non escludiamo che D possa coincidere con C.
inoltre l’insieme vuoto può essere considerato sottoinsieme di tutti gli altri.

L’insieme vuoto e l’insieme stesso sono chiamati sottoinsiemi impropri.
Il simbolo Í indica sia l’inclusione propria sia l’inclusione impropria.

PROPRIETA’ DELL’INCLUSIONE

• Riflessiva. Ogni insieme è contenuto in se stesso:

A Í A

• Antisimmetricità. L’insieme A è contenuto nell’insieme B e l’insieme B è
  contenuto nell’insieme A se e solo se l’insieme A è uguale all’insieme B:

se A Í B e B Í A allora A = B.

• Transitiva. Se L’insieme A è contenuto nell’insieme B e l’insieme B e
  contenuto nell’insieme C, allora l’insieme A è contenuto nell’insieme C:

se A Í B e B Í C allora A Í C.

 

INSIEME COMPLEMENTARE
L’insieme ambiente o ambiente universo U è l’insieme più ampio da cui prelevare
gli elementi per costituire i vari insiemi delineati dalle proprietà caratteristiche.

Per esempio, considerando gli alunni di una classe C, potremmo definire in essa
l’insieme dei “ragazzi alti” A e i restanti i “ragazzi non alti” B.
L’insieme B è complementare di A in C, e simmetricamente che A è complementare
in B nell’insieme C.

In generale diciamo:
Dato un insieme A, si chiama insieme complementare di A respetto all’ambiente
universo U, l’insieme formato da tutti gli elementi di U non apperteneti ad A, e si indica con Ā.

sia A sia Ā sono sottinsiemi di U.


INSIEMI UGUALI
Due insiemi sono uguali se ogni elemento di A è elemento di B e ogni elemento
di B è elemento di A.

L’uguaglianza degli insiemi gode delle proprietà:

• riflessiva
• Simmetrica
• Transitiva

Non indugio troppo a spiegarmi qste proprietà per non offendere il vostro intelletto.

INTERSEZIONE DI INSIEMI
Dicesi intersezione di due insiemi A e B l’insieme degli elementi comuni ad A e B.
Si indica:
A Ç B

Se l’intersezione tra due insiemi è vuoto, gli insiemi si dicono disgiunti.

Casi particolari:
L’intersezione di un insieme A, non vuoto, definito nell’ambiente universo U:

• con un suo sottinsieme proprio B è il sottoinsieme stesso.

A Ç B = B





• con se stesso è l’insieme stesso:

A Ç A = A

• con l’insieme vuoto è l’insieme vuoto:

A Ç Æ = Æ

• con l’insieme complementare è l’insieme vuoto Æ:

     A Ç Ā = Æ

• con l’ambiente universo è l’insieme A:

A Ç U = A
 
UNIONE DI INSIEMI
Si chiama unione di due insiemi A e B, l’insieme costituito dagli elementi di A o di B.
Se esisto elementi comuni ai due insiemi, essi vengono considerati una sola volta
nell’insieme unione. Si indica con:
   A È B

Casi particolari:
L’unione di un insieme non vuoto A:

• con se stesso è l’insieme stesso:

A È A = A

• con l’insieme vuoto è l’insieme stesso:

A È Æ = A

• con un suo sottoinsieme proprio B è l’insieme stesso:

A È B = A con  B Ì A

PROPRIETA’ DELL’INTERSEZIONE E DELL’UNIONE
1. L’intersezione e l’unione di due insiemi sono operazioni commutative.


A Ç B = B Ç A

A È B = B È A

2. L’inetersezione e l’unione di due insiemi sono operazioni associative.


(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)

(A È B) È C = A È (B È C)

INSIEME DELLE PARTI
Si chiama insieme delle parti l’insieme di tutti i sottoinsiemi dell’insieme dato.
In pratica fate la combinazione di tutti gli elementi dell’insieme per trovare tutti i sottoinsiemi.
Per costruire il diagramma delle parti è usato il diagramma di Hasse. Qui è
stato usato per il caso di A={a, b, c}





3. L’intersezione e l’unione di due insiemi sono operazioni distributive l’una rispetto all’altra.


A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

PARTIZIONE DI INSIEMI
Si ha una partizione di un insieme quando viene suddiviso in sottoinsiemi
non vuoti, a due a due disgiunti, e tali che la loro unione riproduca l’insieme stesso.

esempio:





A È B È C riproduce l’insieme stesso

A Ç B = A Ç C = B Ç C = Æ

DIFFERENZE DI INSIEMI
Si chiama differenza insiemistica di due insiemi A e B, non disgiunti, l’insieme degli
elementi di A non appartenti a B. Si scrive:
A – B = {x | x Î A, x Ï B}

Casi particolari:
1. La differenza di un insieme con se stesso è l’insieme vuoto:
A – A = Æ
2. La differenza di un insieme con l’insieme vuoto è l’insieme stesso:
A - Æ = A
3. La differenza di due insieme tra loro disgiunti è nell’ordine, l’insieme A, oppure l’insieme B:
A – B = A; B – A = B  con A Ç B = Æ.

N.B. la differenza di insiemi non gode della proprietà commutativa.
A – B ¹ B – A

PRODOTTO CARTESIANO
Si chiama coppia ordinata, dati due insiemi A e B, la coppia di (a, b) avente
come primo elemento un elemento di A e come secondo elemento uno di B.

Si chiama prodotto cartesiano A ´ B  l’insieme delle coppie ordinate (a, b) che
si ottengono associando a ogni elemento a Î A e b Î B.

In generale il prodotto cartesiano non è commutativo.
A ´ B ¹ B ´ A

 

Rappresenzazioni:
Diagramma a frecce





Tabella a matrice





Diagramma cartesiano.





Casi particolari
Il prodotto cartesiano di due insiemi è vuoto se è vuoto almeno uno di essi.
Il prodotto cartesiano di due insiemi uguali gode della proprietà commutativa.

PROPRIETA’ DEL PRODOTTO CARTESIANO
Vale la proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto all’unione.


A ´ (B È C) = (A ´ B) È (A ´ C)

(B È C) ´ A = (B ´ A) È (C ´ A)

Proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto all’intersezione.


A ´ (B Ç C) = (A ´ B) Ç (A ´ C)

(B Ç C) ´ A = (B ´ A) Ç (C ´ A)

 

Proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto alla differenza.


A ´ (B - C) = (A ´ B) - (A ´ C)

(B - C) ´ A = (B ´ A) - (C ´ A)