CIRCONFERENZA

definizione 1

La circonferenza è una conica. E' infatti l'intersezione di una superficie conica rotonda con un piano non passante per l'origine.

definizione 2

É il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto detto centro.

Dalla seconda definizione determiniamo l'equazione analitica:

Sia C(α; β) il centro della circonferenza, r il raggio e P(x, y) il punto generico appartenente alla circonferenza. Affinche il punto P sia appartenente alla circonferenza occorre che .

Si ricava la distanza tra P e C e otteniamo:

Questo è il luogo dei punti del piano preso in considerazione.

Possiamo anche scriverlo in un altra forma.

Sviluppiamo i quadrati:

Sostituiamo con ,e ; riscriviamo:

Questo è un altro modo per scrivere l'equazione della circonferenza. Si noti che è un equazione di secondo grado con coefficienti di 2°grado uguali tra loro e mancante del termine xy.

Vediamo ora dei problemi tipici:

1. Intersezione tra retta e circonferenza

Data una circonferenza di equazione:

ed una retta di equazione

per trovare i punti di intersezione dobbiamo trovare i valori di x e y che soddisfano entrambe le equazioni. dobbiamo quindi risolvere il sistema:

Risolvendo il sistema di secondo grado si possono avere tre tipi di soluzioni:

• due soluzioni reali e distinte: la retta sarà secante alla circonferenza;

• due soluzioni reali e coincidenti: la retta sarà tangente alla circonferenza;

• due soluzioni complesse coniugate: la retta non avrà punti in comune con la circonferenza.

2. Circonferenza passante per tre punti assegnati

Per tre punti non allineati, esiete sempre un'unica circonferenza passante per essi.

Conosciendo i punti si può trovare l'equazione della circonferenza con un sistema a 3 incognite a, b, c.

Oppure si puo calcolare il centro della circonferenza e il raggio e così scriverne la prima equazione.

3. Fascio di rette tangenti ad una circonferenza

P(x; y) è un punto esterno alla circonferenza di equazione

Dal punto P passano infinite rette, ma solo due sono tangenti alla circonferenza.

y₂ – y₁ = m (x₂ – x₁)

Bisogna trovare il valore di m per cui le due rette siano tangenti. Per trovarlo si puo fare il sistema a due equazioni tra l'equazione della retta e la circonferenza. Oppure, se si conoscono le coordinate del centro e del punto comune alla retta e alla circonferenza, si puo calcolare il coefficiente angolare della retta passante per questi due punti che è perpendicolare alla retta tangente.